格雷蒙那小提琴的弧度
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1714年的CT扫描
“Leonora Jackson”斯特拉迪瓦里小提琴，以图4为基础，带有几何叠加。
老克雷莫内的制琴师设计小提琴拱形的方法已经消失在时间的迷雾中。安德鲁·迪珀使用18世纪手册中的证据，提出他们可能是如何做到的，通过一个包含字符串长度、内部形式……和大量数学的系统
在弧度之下
首先，由于小提琴设计的许多方面都遵循简单的几何或和声规则，所以我们可以合理地假设两块上下板的拱形也有这样的规则。在上述两种情况下，拱形设计的起点是沿板的纵向拱的平均高度
17世纪和18世纪的克雷莫尼琴制作者是如何计算和设计他们的小提琴拱形的？这个谜团一直没有解开，部分原因是我们没有一个完整的公式或方法的文件证据，而且随着斯特拉迪瓦里家族的消亡，克雷莫内小提琴制作传统开始被后人所遗忘。本文旨在将计算乐器拱度的克雷莫内方法结合起来，并说明它是如何适应控制其设计的复杂几何系统的——从上、后板到f孔、声柱、C形孔等的布置。它在很大程度上依赖于两个同时代的来源：安东尼奥·巴格尔的论文《小提琴、紫罗兰、小提琴的构造规则》（小提琴、中提琴、大提琴和双低音提琴的构造规则）和匿名的‘布特格巴秘籍’《Librum Segreti de Buttegba》（工作室秘书）。
图1a。根据小提琴内部形状的长度，用一段圆的结构来计算拱高或阁楼
图1b。安东尼奥·巴盖特尔：图8来自该书第一版的图版
首先，由于小提琴设计的许多方面都遵循简单的几何或和声规则，所以我们可以合理地假设两块上下板的拱形也有这样的规则。在上述两个来源中，设计拱形的起点是沿着板中心线的纵向拱的平均高度，称为lof’。这种方法通常是用拉丝的最大半径乘以拉丝的半径来表示的。然后可以构造长度与模板（1b）长度相同的弦。这将创建一个段，该段为我们提供放样，指示了仪器正常工作所需的拱门平均高度。
例如，Stradivaris‘G’型的长度为345.275mm（我的测量值）。这样，圆弧半径为3 x345.275=1044.4mm。在它下面画一根长度为345.275mm的弦，我们可以确定一个14.49mm的放样：这个测量值表示所需的最小拱高。
这是必要计算的第一部分，但它不会生成纵拱的公共剖面。事实上，巴盖特拉（Bagatella）的计算中没有找到达到常见弓形拱形轮廓的路线。这种疏漏是非常令人担忧的，它可能表明，除了一般原则外，小提琴的拱起是一个偶然的事件，是每个制作者的突发奇想或经验，与任何几何或数学方案无关。然而，考虑到基于计算的必要性或给定的弦长，我们应该期望从我们调查的这些小步骤中发现更多有关拱形设计的细节。
Bagatella的方案与车间的秘籍中包含的另一组计算非常吻合。在我的研究中，很明显，几种斯特拉迪瓦里乐器的身体轮廓——小提琴、吉他和曼陀林——都遵循前面提到的规则。在这本手稿中，和巴盖特拉的一样，仪器上下背部定位销之间的距离标志着后续设计计算的根刻度。这些小销的直径小于1毫米，通常放置在靠近镶线的中心缝上或附近（见左下）。但是在巴盖特拉计算的基础阿马提小提琴兄弟中，角顶针都在镶线里面，这导致了错误的解释和使用他的方法出现错误。如果解释正确，巴盖特拉方案，当正确应用时，定义了兄弟阿玛蒂小提琴的内部形式（图2）。在斯特拉迪瓦里斯的作品中，大头针中心之间的距离小于或等于制作乐器的内部形状的长度。我的计算表明，这个长度对于确定形体下一回合的最大宽度，以及它的停止长度和f-孔的位置非常重要。以较低的围宽为例：计算包括取模板长度并制作一个边长为1/3的等边三角形（见图3）。然后求出三角形的高度，并将其加倍，以找到内部形状的最大下部宽度（图4）。我通过测量各种斯特拉迪瓦里小提琴形式的长度来证实这一点，这些小提琴都是克雷莫纳的遗物，也包括它们的下半部。
图2。巴盖特拉的设计方案正确地应用于阿玛提兄弟小提琴的设计中，叠加在阿玛提兄弟的真实轮廓上。
下表显示了该计算与PG、S、P和G形式的实际测量值的接近程度。对于其他类型，误差幅度较大，但仍然较小，这可能是由于磨损，或胡桃木横向纹理随时间收缩，或由于使用替换模板而导致长度测量不匹配。一般来说，计算尺寸与实际尺寸的误差小于3mm，或1.5mm/圈。因此，计算与实际较低的测量结果的相似性表明，在他的小提琴设计中使用了几何或数学过程。
图3。古典小提琴的比例图，显示焦轴，在形体长度（F-F）的7/12处，以及周长与形体长度相匹配的中心三角形的位置
图4。以一个重复的等边三角形为基础，构造斯特拉迪瓦里PG’形状的主要比例
这张图解释了小提琴结构的骨骼，以及琴身长度、f孔比例和拐角方向之间的关系。角的精确截断与形状长度有关，是仪器后销钉（black pins）之间距离的固定谐波比例。
在小提琴里。就像吊桥一样，建设性和破坏性的力量必须得到平衡
这个概念是由f孔眼的位置与图3中几何方案的中心三角形重合所证实的。我通过在图3顶部叠加f孔位置（MS117 recto）的斯特拉迪瓦里斯图纸来证实这一点。这一几何方案似乎已被用于确定主要尺寸的轮廓斯特拉迪瓦里斯琵琶，曼陀林和吉他模式。
一些形状存在不匹配，特别是“Q”形（误差为4.92mm）和长图案“SL”形（5.6mm）。在斯特拉迪瓦里斯的设计工作中，也许有各种各样的设计方法：在他的职业生涯之初，他使用了巴盖特拉发现的阿马蒂系统，然后进行了整合和修改，然后在一段时间的实验结束后发明了一个不同的方案。使用CT扫描的轮廓和引脚位置的实际克雷莫内斯乐器（“莱昂诺拉·杰克逊”斯特拉迪瓦里和另一个轮廓取自“PG形式”的斯特拉迪瓦里小提琴）显示出，这些乐器本身的几何精度要高于其假定的构造形式。对我来说，这是有趣的，并表明了在侧板框粘到背板的过程中，环状侧板的小操作，因此在将侧板结构放置在内部形状上的错误后来得到了纠正。比如说，如果他把脖子的角度调整得更整齐，那么他就可以更精确地调整颈部的比例了。这种侧板轮廓的重新调整，特别是在瓜内里的乐器“del Gesi”，可能解释了斯特拉迪瓦里小提琴轮廓和他们未来的内部形式之间缺乏完美匹配的令人不安的原因。
现在来看看小提琴的实际拱形轮廓。克雷莫纳包括各种乐器的纸和木模板的广泛收集，所有这些都是由伟大的大师制作的，但没有来自斯特拉迪瓦里商店的拱形轮廓的原始模板。该系列中唯一的拱形模板是安东尼奥·斯特拉迪瓦里斯（Antonio Stradivaris）去世多年后，科齐奥·迪萨拉布伯爵（Count Cozio di Salabue）委托制作的。（模板MS173-204）。这些木制模板表面上是由G.B.瓜达格尼尼和贾科莫·里沃尔塔（Giacomo Rivolta）或其他制造商在萨拉布的“马厩”里用来复制斯特拉迪瓦里小提琴的。斯特拉迪瓦里遗物中缺少原始的仿形工具，或者没有任何其他迹象表明它们在阿玛提和斯特拉迪瓦里小提琴中的使用，这就提出了一个问题：如果这些工具是在18世纪的作坊中使用的，为什么在斯特拉迪瓦里死后40年左右的抄写者的年龄之前，就没有提到这些工具，也没有任何关于它们存在的痕迹？如果它们没有被使用，仅仅是复制者工具的现代改编版，那么克雷莫内小提琴的拱形轮廓究竟是如何形成的呢？
小提琴的拱形板必须能够承受环境和乐器弦施加在它们身上的张力和压力，这种结构被称为“力的平行四边形”。拱必须在所施加的力和结构的强度之间达到平衡，而不会导致倒塌或变形。换句话说，就像悬索桥一样，施工力和破坏力必须平衡。在小提琴的情况下，它们必须精确地平衡，否则振动的自由度和整个结构的稳定性将受到损害。此外，如果建设性的力量（应力），板的厚度，或大小的内部角木和衬里太强，小提琴可能听起来干燥，静音和刺耳。在少数情况下，这种情况可以通过增加弦的张力来解决。
我想你们中有些人会说，“我们为什么要费心去探究一种古老的方法？为什么不编程一台计算机来为你完成拱形设计的工作——只需按一下按钮就可以了“我女儿优雅地总结了这个问题：‘我们不应该让机器人赢！’安德烈·阿马蒂的小提琴设计，这些哥特式的宝石，是塔尔蒂尼梦寐以求的东西，是人文主义原则和寻求普遍和谐的结果。他们今天的亲属不应该属于机器人的机制，至少现在还不应该。小提琴的声音应该能表达自然和人类条件的蓬勃发展，而不是冰冷的机械数字的轻薄、卑鄙和金属般的操作，敲出越来越多的所谓的复制品。我们应该如何信守克雷莫尼传统的承诺，并保持这一人文主义原则？
那本‘秘籍’可能会有所帮助，因为它属于克雷莫内小提琴制作传统在斯特拉迪瓦里家族灭亡后崩溃的时期。它的细节计算过程的小提琴弧度是令人费解的和不幸的不完整。它的计算，同样基于内部形式的长度，包括熟悉的三部分划分：“腹部长度72分，除以3等于24分”。然后以72分制的分数进行一系列计算。它的指示似乎只是对这一过程的一部分注释，并没有附带任何理由和理由。这种忽略细节的做法令人大失所望，因为重新发现18世纪的计算方法，即确定小提琴、中提琴和大提琴的拱形轮廓和相关侧板高度，这可能是斯特拉迪瓦里其余设计过程中的罗塞塔石（Rosetta Stone）——其痕迹散布在斯特拉迪瓦里遗迹的纸张上。拱形设计和外形轮廓之间的联系的发现，对于为中提琴和小号大提琴创建新颖的设计模板特别有用，并且可以让拷贝人员精确地将其材料改编为仿古设计，甚至可以为现代材料重新设计设计。创造功能性拱形设计的能力是18世纪克雷莫内小提琴制作方法的一个重要成就，这一方法可能源于阿玛提家族的作品。
为了达到一个合适的拱度，有必要将小提琴的内部长度（后销之间的距离）分成12个部分。在7/12分区，另一条线与第一条线成直角（图3中的F-F）。这条水平线在Librum Segreti被称为焦轴，通过分析斯特拉迪瓦里小提琴的CT扫描显示，它位于或靠近常规的声柱位置。此外，对于许多克雷莫内小提琴来说，正是这条线将顶板的质量分成两个相等的部分价值观斯特拉迪瓦里小提琴7/12轴心线的长度是其后销之间的距离除以2.59。在“PG”形式下，焦轴的长度为13.4cm；S为12.9cm，P为13.5，G为13.3。这些变化是很重要的，因为比率的细微差别可能表明试图将小提琴的主要测量值与感知的数字和声关系相匹配。在斯特拉迪瓦里斯生前和在世期间，许多科学家都致力于谐波原理的探索，使用振动弦、砝码和摆锤来揭示它们的特性，甚至将其实验结果应用于行星轨道和运动的分析。
焦轴F-F的长度很重要，因为它在计算板的预期拱曲线以及C形截面的长度和曲线、桥的高度、f孔的位置和设计，以及小提琴拱的反射内表面的轮廓方面起着重要作用。这条线的长度和它的位置是这把小提琴是否牢靠的关键基石。
为了创建拱形曲线，我构造了一个周长与小提琴焦轴长度相匹配的圆柱体。焦轴处的拱形曲线始终是平均拱高，如之前从巴盖特拉的过程计算得出的；对于“G”形，它是14.49mm。我划出这个拱形的高度，然后以一个角度截断圆柱体，就好像它被一个平面相交一样（图5a和b）。然后我用一张纸包住圆柱体（5c），沿着截断线（5d）切割。当纸张从圆筒上展开并平放时，会产生拱形曲线（5e）
一旦生成曲线，就可以使用它将拱形曲线转换到F-F位置的板上，使用等高线延伸拱门周围的纵断面（如Simone Sacconi的《I’Segreti’di Stradivari》一书中所述）。如果您需要其他模板，也可以计算它们，但这种方法非常适合拷贝者的传统过程。（这类曲线的反射性质非常有趣。由克雷莫娜当代著名数学家吉多·格兰迪（Guido Grandi），对斯特拉迪瓦里的研究。任何想了解这些等轴测投影和操作的迷人特性的人都可以好好研究一下他的工作，尤其是贝尔曲线的性质。）
在画出拱形曲线之后，我渴望进一步试验。所以我切割了两块木块，其表面与这条曲线相对应（图6）。我用一层薄薄的反光聚酯薄膜覆盖这些，然后再做两个小块，也用聚酯薄膜覆盖，来代表C形肋骨的内表面。我把所有这些放在一个表面上，以匹配拉克森斯特拉迪瓦里7/12位置的CT扫描结果（图7）。
图5，一个周长等于小提琴焦轴长度的圆柱体的截短。拱高由图5a上的两个箭头表示，为14.49mm
从圆筒上拆开纸张会产生拱形曲线. 这张纸是用一把锋利的小刀沿着截短线切成薄片的.
图6，圆柱与曲面相交生成的拱形轮廓. 待切割曲线的弧与图1所示的弧一致.
然后我把激光笔的光束照进这个装置。在一个昏暗的房间里，空气尘埃对光束轨迹的照明显示了这种反射面的复杂性。激光束的初始位置在图7中。令人惊讶的是，这似乎表明了肋骨结构对模拟声波反射的显著影响，更重要的是，它表明小提琴空气质量的混响限制在两个曲面之间，对弦上弓的作用引起的声压波没有统一的反应。相反，它似乎表明在空气体积内存在复杂的高低压区。这些看起来像是一个调谐的、驱动的空气弹簧，它们相互冲击，就像风暴中的狂风。
米兰小提琴制作人贾辛托·贝尔托拉齐（Giacinto Bertolazzi，1910-1956）也注意到了小提琴内部声波反射的复杂性。正是他在20世纪40年代拍摄了《秘籍的记事本》的照片，当时《秘籍》在他的朋友Euro Peluzzi手中。贝洛拉齐实现了一个完整的小提琴制作系统，在固定外表面之前，建立了小提琴拱形的内部反射面。从他的小提琴，我听到，并可以证明，这个制作过程的结果是惊人的，因为他们赋予声音的力量和复杂性。一个描述贝托拉齐的精确和迷人的过程，连同他的工具和图纸，将是未来文章的主题。
图7，两个模拟拱形曲线及其肋面之间的空间内的两个不同激光束轨迹。注意不受光束反射影响的较暗区域
关于琴弦长度的记录
斯特拉迪瓦里计算的起点应该是原始琴弦长度。这些同样，也很难确定，因为所有的例子都在一个叫做嫁接的过 程中改变了它们的琴颈长度。通过我的计算，并通过测量其他学院派小提琴的原始琴颈长度，我相信小提琴内部形式的长度与它原来的弦长之间的关系是基于18:17的比率。定位销和背板之间的线性测量值为预期弦长的18：17（中提琴和大提琴的比例不同），这表明实际小提琴颈部尺寸约为12.7厘米，具体取决于型号。这比现代的琴颈略短，因此弦的长度也比现代标准短，但这与许多历史上小提琴的原始琴颈的例子是相符的。
18:17的比例是乐器设计中常用的计算方法，它来源于琉特琴的构造，它被用于音阶的放置。它出现在17世纪的理论家马林·梅森的《关于音调比例的和谐宇宙》（Harmonie Universelle）中（以100000:94000表示），有趣的是，他引入了关于音调颜色和比例的争论。他说，琉特琴的微动可以更精确地控制，如果一个人希望调整不同的音阶，因为平均音调调音在那时还处于初级阶段。这篇文章介绍了斯特拉迪瓦里小提琴的身长——他很有可能是因为他对不同音调的探索而产生了微小的变化。这是否可以解释他引进和放弃长模式小提琴的原因？
插图显示了“球体的音乐”的细节，如马林·梅森1636年的论文《和谐宇宙》的序言所示
关于资料来源的说明
安东尼奥·巴盖特拉关于小提琴制作的论文，雷戈尔珀拉建筑小提琴，紫罗兰，大提琴，小提琴，出版于1786年。在这本书里，这位小提琴制作者说他重新发现了阿马提兄弟小提琴背后的设计过程。这本书和《布特加瓦雷诗集》（Librum Segreti de butteghaere）几乎都是在同一时间、同一地点写成的，当时克雷莫内的设计过程丢失了，这可能表明了一个共同的根源。除此之外，两者都为仪器的主体长度建立了一个72部分的比例，并且都包含了f孔放置的数字和几何规则。虽然放弃标准测量对我们来说可能有点奇怪，但基于仪器长度的72分刻度（见图2）仅仅是处理分数数学的一种优雅方法：72可以被2、3、4、6、8、9、12、18、24和36除